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「赤道座標の方向余弦表示」の変換式の解説

「赤道座標の方向余弦表示」の変換式の解説

今回は長沢工 著の「天文の位置計算」を読んでいる人のうち、「2.8.1 赤道座標の方向余弦表示」の節にある次の公式がわからなかった人にお伝えしたい内容です。

・・・これが赤道直交座標系である。そうすると、赤経α、赤緯δで示される天体の方向余弦(L,M,N)は、
L=cos α=cos δ cos α
M=cos b=cos δ sin α
N=cos c=sin δ
で示される。

で、それまでの内容から、L=cos a、M=cos b、N=cos cとなることはわかるはずです。ですが、L=cos δ cos αのように、「L、M、Nとδやαとの関係がなぜそうなるのか」が、この本では詳しく解説されていないんですね。

それを解説したいというのが、この記事の目的です。

点P、点Xの球面上を通り、天の赤道と交わる点をQとする

では、早速始めましょう。まず、点Xの座標(L,M,N)のうち、Z軸方向の座標となるNの値から考えます。そのために、次の図のように点P、点Xの球面上を通り、天の赤道と交わる点をQとし、原点はOとします。

figure1で、このOPQを通るようにこの球を切ってみると、その断面は、次のような図の円となります。

figure2この図において、角XOQのなす角度は、δです。なので、この円の半径をrとするとN=r・sin δとなることがわかります。実際のところ、この円の半径は1であるので、そこからZ軸方向の座標となるNはsin δとなります。

つまり、「N=sin δ」となります。

続いて、線分OQと、点Xからの垂線と交わる点をX’とします。すると、線分OX’の長さは、cos δとなることがわかります。

X’の長さを天の赤道平面で考えるとL、Mが求まる

このX’は、XY平面上の点となっています。そして、X軸とOX’のなす角の角度は、αとわかっているため、そこからX座標となるL、Y座標となるMが計算できます。

次の図は、XY平面、つまり天の赤道の面で、この球を切った時の断面を表して言います。

figure3

上の計算結果から、OX’の長さは、cos δとわかっています。そしてOX’とX軸のなす角はαとわかっていますので、L、Mの座標は次のように求まります。

L=cos δ ・ cos α
M=cos δ ・ sin α

以上をまとめると、次の関係となることがわかります。

L=cos δ cos α
M=cos δ sin α
N=sin δ

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